3e – Mathématiques · Espace et géométrie

Trigonométrie dans le triangle rectangle

Exercices corrigés de maths (3e, brevet) sur la trigonométrie : cosinus, sinus, tangente, calculer une longueur ou un angle dans un triangle rectangle.

5 exercices
50 min
Corrigé détaillé

L’essentiel à retenir

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu : $cos = \frac{adjacent}{hypot e ˊ nuse}$ , $sin = \frac{oppos e ˊ}{hypot e ˊ nuse}$ , $tan = \frac{oppos e ˊ}{adjacent}$ .
Moyen mnémotechnique : SOH CAH TOA.
Pour trouver un angle, on utilise les touches $cos^{- 1}$ , $sin^{- 1}$ ou $tan^{- 1}$ de la calculatrice (en mode degrés).

Exercice 1

Écrire les rapports

Pour commencer

Le triangle $A B C$ est rectangle en $A$ . Écris $cos B$ , $sin B$ et $tan B$ en fonction des longueurs.

Voir le corrigé

L’hypoténuse est $[B C]$ . Pour l’angle $B$ : adjacent $A B$ , opposé $A C$ . $cos B = \frac{A B}{B C}$ , $sin B = \frac{A C}{B C}$ , $tan B = \frac{A C}{A B}$ .

Exercice 2

Calculer un côté adjacent

Pour s’entraîner

$D E F$ est rectangle en $E$ , avec $D F = 10$ cm et $D = 35°$ . Calcule $D E$ arrondi au mm.

Voir le corrigé

$D E$ est le côté adjacent à $D$ et $D F$ l’hypoténuse : $cos 35° = \frac{D E}{10}$ .

$D E = 10 \times cos 35° \approx 8, 2$ cm.

Exercice 3

Calculer un côté opposé

Pour s’entraîner

$M N P$ est rectangle en $N$ , avec $M N = 6$ cm et $M = 50°$ . Calcule $N P$ arrondi au mm.

Voir le corrigé

$N P$ est opposé à $M$ et $M N$ adjacent : $tan 50° = \frac{N P}{6}$ .

$N P = 6 \times tan 50° \approx 7, 2$ cm.

Exercice 4

Calculer un angle

Pour s’entraîner

$R S T$ est rectangle en $S$ , avec $R S = 4$ cm et $R T = 7$ cm. Calcule $R$ arrondi au degré.

Voir le corrigé

$R S$ est adjacent à $R$ et $R T$ l’hypoténuse : $cos R = \frac{4}{7}$ .

$R = cos^{- 1} (\frac{4}{7}) \approx 55°$ .

Exercice 5

Problème : l’échelle

Pour aller plus loin

Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur vertical. Pour être stable, elle doit faire un angle compris entre 65° et 75° avec le sol. Son pied est à 1,5 m du mur. Est-elle stable ?

Voir le corrigé

Le mur, le sol et l’échelle forment un triangle rectangle. L’échelle est l’hypoténuse (5 m) et la distance au mur est le côté adjacent à l’angle avec le sol (1,5 m).

$cos α = \frac{1 , 5}{5} = 0, 3$ , donc $α = cos^{- 1} (0, 3) \approx 72, 5°$ .

L’angle est compris entre 65° et 75° : l’échelle est stable.