Le théorème de Thalès et sa réciproque

3eMathématiquesGéométrieDurée conseillée : 50 min5 exercices corrigés

Exercices corrigés de 3e pour calculer des longueurs avec le théorème de Thalès et prouver que deux droites sont parallèles avec sa réciproque.

L’essentiel à retenir

Théorème : les points A, M, B et A, N, C sont alignés. Si $(M N) ∥ (B C)$ , alors $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}$ .
Réciproque : si les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans le même ordre et si $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}$ , alors $(M N) ∥ (B C)$ .
Pour comparer deux quotients, on peut calculer leurs valeurs ou faire les produits en croix.

Exercice 1

Calculer deux longueurs

Pour commencer

Dans le triangle ABC, M est sur [AB] et N sur [AC], avec $(M N) ∥ (B C)$ . On a AM = 4 cm, AB = 10 cm, AN = 3 cm et BC = 7,5 cm.

Calcule AC et MN.

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Les points A, M, B et A, N, C sont alignés et $(M N) ∥ (B C)$ . D’après le théorème de Thalès :

$\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}$ , soit $\frac{4}{10} = \frac{3}{A C} = \frac{M N}{7 , 5}$ .

$A C = \frac{3 \times 10}{4} = 7, 5$ cm et $M N = \frac{4 \times 7 , 5}{10} = 3$ cm.

Exercice 2

Configuration « papillon »

Pour s’entraîner

Les droites (DE) et (FG) se coupent en O. Les points D, O, G sont alignés, ainsi que E, O, F, et $(D E) ∥ (F G)$ . On sait que OD = 6 cm, OG = 9 cm et DE = 4 cm.

Calcule FG.

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D’après le théorème de Thalès : $\frac{O D}{O G} = \frac{O E}{O F} = \frac{D E}{GF}$ .

$\frac{6}{9} = \frac{4}{GF}$ , donc $GF = \frac{4 \times 9}{6} = 6$ cm.

Exercice 3

Les droites sont-elles parallèles ?

Pour s’entraîner

Les points R, S, T sont alignés dans cet ordre, ainsi que R, U, V. On a RS = 2,4 cm, RT = 6 cm, RU = 3 cm et RV = 7,5 cm.

Les droites (SU) et (TV) sont-elles parallèles ?

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$\frac{R S}{R T} = \frac{2 , 4}{6} = 0, 4$ et $\frac{R U}{R V} = \frac{3}{7 , 5} = 0, 4$ .

Les quotients sont égaux et les points sont alignés dans le même ordre. D’après la réciproque du théorème de Thalès, (SU) et (TV) sont parallèles.

Exercice 4

Contre-exemple

Pour s’entraîner

Mêmes notations, avec RS = 3 cm, RT = 7 cm, RU = 4 cm et RV = 9 cm. Les droites (SU) et (TV) sont-elles parallèles ?

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Produits en croix : $R S \times R V = 3 \times 9 = 27$ et $R T \times R U = 7 \times 4 = 28$ .

Comme $27 \neq = 28$ , $\frac{R S}{R T} \neq = \frac{R U}{R V}$ . Si les droites étaient parallèles, le théorème de Thalès donnerait l’égalité : elles ne sont pas parallèles.

Exercice 5

Problème : la hauteur de l’arbre

Pour aller plus loin

Pour mesurer un arbre, Sofia plante verticalement un bâton de 1,5 m. Elle se place de sorte que le haut du bâton et le haut de l’arbre soient alignés avec ses pieds, posés au sol. Ses pieds sont à 2 m du bâton et à 12 m de l’arbre. Le sol est horizontal et l’arbre vertical.

Quelle est la hauteur de l’arbre ?

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Le bâton et l’arbre sont verticaux, donc parallèles. On a une configuration de Thalès de sommet les pieds de Sofia (point S) :

$\frac{2}{12} = \frac{1 , 5}{h}$ , donc $h = \frac{1 , 5 \times 12}{2} = 9$ m.

L’arbre mesure 9 m.