Développer et factoriser avec les identités remarquables

3eMathématiquesCalcul littéralDurée conseillée : 50 min5 exercices corrigés

Exercices corrigés de 3e pour développer, réduire et factoriser des expressions, avec la double distributivité et les identités remarquables.

L’essentiel à retenir

Double distributivité : $(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d$ .
Identités remarquables : $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ ; $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ ; $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ .
Factoriser, c’est transformer une somme en produit : on cherche un facteur commun, ou on reconnaît une identité remarquable.

Exercice 1

Double distributivité

Pour commencer

Développe et réduis : $A = (x + 3) (x + 5)$ $B = (2 x - 1) (x + 4)$

Voir le corrigé

$A = x^{2} + 5 x + 3 x + 15 = x^{2} + 8 x + 15$

$B = 2 x^{2} + 8 x - x - 4 = 2 x^{2} + 7 x - 4$

Exercice 2

Identités remarquables

Pour commencer

Développe : $C = (x + 6)^{2}$ $D = (3 x - 2)^{2}$ $E = (5 + x) (5 - x)$

Voir le corrigé

$C = x^{2} + 2 \times x \times 6 + 36 = x^{2} + 12 x + 36$

$D = (3 x)^{2} - 2 \times 3 x \times 2 + 2^{2} = 9 x^{2} - 12 x + 4$

$E = 25 - x^{2}$

Exercice 3

Facteur commun

Pour s’entraîner

Factorise : $F = 6 x + 15$ $G = x^{2} - 7 x$ $H = (x + 2) (3 x - 1) + (x + 2) (x + 5)$

Voir le corrigé

$F = 3 (2 x + 5)$

$G = x (x - 7)$

$H$ : le facteur commun est $(x + 2)$ . $H = (x + 2) [(3 x - 1) + (x + 5)] = (x + 2) (4 x + 4) = 4 (x + 2) (x + 1)$ .

Exercice 4

Factoriser une différence de carrés

Pour s’entraîner

Factorise : $I = x^{2} - 49$ $J = 16 x^{2} - 9$ $K = (x + 1)^{2} - 4$

Voir le corrigé

On utilise $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ .

$I = (x + 7) (x - 7)$

$J = (4 x)^{2} - 3^{2} = (4 x + 3) (4 x - 3)$

$K = (x + 1)^{2} - 2^{2} = (x + 1 + 2) (x + 1 - 2) = (x + 3) (x - 1)$

Exercice 5

Type brevet : expression et équation produit

Pour aller plus loin

On considère $L = (2 x - 3)^{2} - (2 x - 3) (x + 1)$ .

1) Développe et réduis $L$ .

2) Factorise $L$ .

3) Résous l’équation $L = 0$ .

Voir le corrigé

1) $(2 x - 3)^{2} = 4 x^{2} - 12 x + 9$ et $(2 x - 3) (x + 1) = 2 x^{2} - x - 3$ .

$L = 4 x^{2} - 12 x + 9 - 2 x^{2} + x + 3 = 2 x^{2} - 11 x + 12$ .

2) Facteur commun $(2 x - 3)$ : $L = (2 x - 3) [(2 x - 3) - (x + 1)] = (2 x - 3) (x - 4)$ .

3) Un produit est nul si l’un de ses facteurs est nul : $2 x - 3 = 0$ ou $x - 4 = 0$ , donc $x = \frac{3}{2}$ ou $x = 4$ .

Vérification avec la forme développée pour $x = 4$ : $2 \times 16 - 44 + 12 = 0$ .