Terminale – Mathématiques · Fonction logarithme

La fonction logarithme népérien

Exercices corrigés de Terminale sur la fonction ln : propriétés algébriques, équations et inéquations, dérivée et étude de fonction.

5 exercices
60 min
Corrigé détaillé

L’essentiel à retenir

$ln$ est définie sur $] 0; + \infty [$ ; $ln 1 = 0$ , $ln e = 1$ , et $e^{l n x} = x$ pour $x > 0$ .
Pour $a, b > 0$ : $ln (ab) = ln a + ln b$ , $ln \frac{a}{b} = ln a - ln b$ , $ln (a^{n}) = n ln a$ .
$ln$ est strictement croissante : $ln a < ln b ⟺ a < b$ .
$(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ et $(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ pour $u > 0$ .

Exercice 1

Simplifier

Pour commencer

Écris en fonction de $ln 2$ et $ln 3$ : a) $ln 6$ b) $ln 8$ c) $ln \frac{9}{2}$

Voir le corrigé

a) $ln 2 + ln 3$ b) $3 ln 2$ c) $2 ln 3 - ln 2$

Exercice 2

Équations

Pour s’entraîner

Résous : a) $ln x = 2$ b) $e^{x} = 5$ c) $ln (2 x - 1) = ln (x + 3)$

Voir le corrigé

a) $x = e^{2}$ .

b) $x = ln 5$ .

c) Domaine : $x > \frac{1}{2}$ . $2 x - 1 = x + 3 ⟺ x = 4$ , qui est dans le domaine : $S = {4}$ .

Exercice 3

Inéquation

Pour s’entraîner

Résous $ln (x - 2) \leq 0$ .

Voir le corrigé

Domaine : $x > 2$ . $ln (x - 2) \leq ln 1 ⟺ x - 2 \leq 1 ⟺ x \leq 3$ . $S =] 2; 3]$ .

Exercice 4

Dériver

Pour s’entraîner

a) $f (x) = x ln x$ sur $] 0; + \infty [$ b) $g (x) = ln (x^{2} + 1)$ sur $R$

Voir le corrigé

a) $f^{'} (x) = ln x + x \times \frac{1}{x} = ln x + 1$ . b) $g^{'} (x) = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ .

Exercice 5

Étude de fonction

Pour aller plus loin

Soit $f (x) = x - ln x$ sur $] 0; + \infty [$ .

1) Calcule $f^{'} (x)$ et étudie son signe.

2) Dresse le tableau de variations et donne le minimum de $f$ .

3) En déduire que $ln x < x$ pour tout $x > 0$ .

Voir le corrigé

1) $f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$ . Sur $] 0; + \infty [$ , $x > 0$ : $f^{'} (x)$ a le signe de $x - 1$ , négatif sur $] 0; 1 [$ , positif sur $] 1; + \infty [$ .

2) $f$ décroît sur $] 0; 1]$ puis croît sur $[1; + \infty [$ . Minimum : $f (1) = 1 - 0 = 1$ .

3) Pour tout $x > 0$ , $f (x) \geq 1 > 0$ , donc $x - ln x > 0$ , c’est-à-dire $ln x < x$ .