Seconde – Mathématiques · Géométrie

Vecteurs : coordonnées, somme et colinéarité

Exercices corrigés de maths (Seconde) sur les vecteurs : coordonnées, égalité, somme, relation de Chasles, milieu, colinéarité et alignement.

L’essentiel à retenir

Si $A (x_{A}; y_{A})$ et $B (x_{B}; y_{B})$ , alors $A B (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$ .
Relation de Chasles : $A B + B C = A C$ .
$A B C D$ est un parallélogramme si et seulement si $A B = D C$ .
$u (x; y)$ et $v (x^{'}; y^{'})$ sont colinéaires si et seulement si $x y^{'} - x^{'} y = 0$ .

Exercice 1

Pour commencer

Avec $A (1; 2)$ , $B (4; - 1)$ et $C (- 2; 3)$ , calcule les coordonnées de $A B$ et $A C$ .

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$A B (3; - 3)$ et $A C (- 3; 1)$ .

Exercice 2

Pour commencer

Simplifie : a) $A B + B D$ b) $M N + P M$ c) $A B - C B$

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a) $A D$ b) $P M + M N = P N$ c) $A B + B C = A C$

Exercice 3

Pour s’entraîner

Avec $A (1; 2)$ , $B (4; - 1)$ , $C (6; 3)$ , détermine les coordonnées de $D$ tel que $A B C D$ soit un parallélogramme.

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$A B C D$ parallélogramme $⟺ A B = D C$ . $A B (3; - 3)$ et $D C (6 - x; 3 - y)$ .

$6 - x = 3$ et $3 - y = - 3$ , donc $D (3; 6)$ .

Exercice 4

Pour s’entraîner

Les vecteurs $u (2; - 3)$ et $v (- 6; 9)$ sont-ils colinéaires ? Et $w (4; 5)$ et $u$ ?

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$2 \times 9 - (- 6) \times (- 3) = 18 - 18 = 0$ : $u$ et $v$ sont colinéaires ( $v = - 3 u$ ).

$2 \times 5 - 4 \times (- 3) = 10 + 12 = 22 \neq = 0$ : $u$ et $w$ ne sont pas colinéaires.

Exercice 5

Pour aller plus loin

Les points $E (- 1; 1)$ , $F (1; 5)$ et $G (3; 9)$ sont-ils alignés ?

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$E F (2; 4)$ et $E G (4; 8)$ .

$2 \times 8 - 4 \times 4 = 0$ : les vecteurs sont colinéaires et ont le point $E$ en commun, donc $E$ , $F$ , $G$ sont alignés.