Première – Mathématiques · Suites numériques

Suites arithmétiques et géométriques

Exercices corrigés de maths (Première) sur les suites arithmétiques et géométriques : terme général, raison, somme des termes et modélisation.

5 exercices
55 min
Corrigé détaillé

L’essentiel à retenir

Suite arithmétique de raison $r$ : $u_{n + 1} = u_{n} + r$ , donc $u_{n} = u_{0} + n r$ .
Suite géométrique de raison $q$ : $u_{n + 1} = q \times u_{n}$ , donc $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ .
$1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ et, pour $q \neq = 1$ , $1 + q + \dots + q^{n} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q}$ .

Exercice 1

Reconnaître

Pour commencer

Les suites suivantes sont-elles arithmétiques, géométriques ou ni l’une ni l’autre ? a) 3 ; 7 ; 11 ; 15 b) 2 ; 6 ; 18 ; 54 c) 1 ; 4 ; 9 ; 16

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a) arithmétique de raison 4 b) géométrique de raison 3 c) ni l’une ni l’autre (ce sont les carrés : les écarts 3, 5, 7 ne sont pas constants et les quotients non plus)

Exercice 2

Terme général

Pour commencer

$(u_{n})$ est arithmétique avec $u_{0} = 5$ et $r = - 2$ . Exprime $u_{n}$ et calcule $u_{20}$ .

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$u_{n} = 5 - 2 n$ ; $u_{20} = 5 - 40 = - 35$ .

Exercice 3

Suite géométrique

Pour s’entraîner

$(v_{n})$ est géométrique avec $v_{0} = 3$ et $q = 2$ . Calcule $v_{5}$ et la somme $S = v_{0} + v_{1} + \dots + v_{5}$ .

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$v_{5} = 3 \times 2^{5} = 96$ .

$S = 3 \times \frac{1 - 2 ^{6}}{1 - 2} = 3 \times 63 = 189$ .

Exercice 4

Somme arithmétique

Pour s’entraîner

Calcule $1 + 2 + 3 + \dots + 100$ , puis $2 + 4 + 6 + \dots + 200$ .

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$1 + \dots + 100 = \frac{100 \times 101}{2} = 5050$ .

$2 + 4 + \dots + 200 = 2 (1 + \dots + 100) = 10100$ .

Exercice 5

Placement

Pour aller plus loin

On place 2 000 € à intérêts composés de 3 % par an. On note $C_{n}$ le capital après $n$ années.

1) Exprime $C_{n + 1}$ en fonction de $C_{n}$ , puis $C_{n}$ en fonction de $n$ .

2) Calcule le capital après 10 ans (arrondi à l’euro).

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1) $C_{n + 1} = 1, 03 C_{n}$ : suite géométrique de raison 1,03 et $C_{n} = 2000 \times 1, 0 3^{n}$ .

2) $C_{10} = 2000 \times 1, 0 3^{10} \approx 2688$ €.